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円順列の問題について

予備校名:レクサス 掲載日:2019/09/05

当校には現役東大生・その他最難関医学部の学生から選りすぐったT.A.(Teaching Assistant)が在籍しており、受験生の質問や日頃の悩みに答えてくれます。
今回のテーマは「円順列の問題について」です。(東京大学医学部6年)


最近、世界最高峰の科学雑誌「ネイチャー」に、認知症の危険因子を網羅解析した論文が発表されました。
平たく言うと、どのような遺伝子を持っていて、どのような環境にいる人が認知症になりやすいかを調べた論文です。
その論文によると、家族性アルツハイマー病のような遺伝子疾患もありますが、寝不足・偏った食事・孤独などの生活習慣も認知症のリスクだと判明しました。
生活習慣に気を付けて、認知症予防につなげたいですね。

生徒の皆さんからよく質問されるテーマとして、数学の円順列の問題があります。
今日はそれを取り上げてみようと思います。

白玉3個〇〇〇、黒玉2個●●を円状に並べる問題があるとしましょう。
以前も書きましたが、この手の問題はとりあえずペンを動かして書き出してみるのか肝心です。

①白白白黒黒
②白白黒白黒
③白白黒黒白
④白黒白白黒
⑤白黒白黒白
⑥白黒黒白白
⑦黒白白白黒
⑧黒白白黒白
⑨黒白黒白白
⑩黒黒白白白

全部書き出すとこんな感じですね。
円順列は円状に回して同じものは同じとみなします。
じっと眺めると、①③⑥⑦⑩は同じ配列、②④⑤⑧⑨は同じ配列だとわかります。
これで答えが2通りだとわかりますね。

このプロセスを振り返ると、結局黒玉が2つであれば白玉の分配の仕方の分しか場合の数はないことがわかります。
白玉が3つだったので0個―3個、1個―2個ということです。
白玉が4つなら0個―4個、1個―3個、2個―2個の3通りです。

黒玉が増えるともう少し設定が複雑になりますが、シンプルな形で書き出してみると方針が立てられるので、「とりあえずペンを動かす」姿勢を忘れずに問題に取り組みましょう。

頑張ってください。

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